§ 5. ЗАЧЕТЫ
Зачет № 1.
Начала стереометрии
Вопросы
1. Основные понятия
стереометрии.
2. Аксиомы стереометрии
(запись, чертеж).
3. Аксиомы стереометрии
(формулировки).
4. Понятие равенства двух
фигур в пространстве.
5. Понятие подобия двух
фигур в пространстве.
6. Следствие 1
(формулировка, доказательство).
7. Следствие 2
(формулировка, доказательство).
8. Следствие 3
(формулировка, доказательство).
9. Понятие многогранника.
Примеры многогранников.
10. Понятие призмы (прямая
призма, правильная призма).
11. Понятие пирамиды
(правильная пирамида).
12. Нахождение количества
вершин, ребер и граней n-угольной
призмы.
13. Нахождение количества
вершин, ребер и граней n-угольной
пирамиды.
14. Определение диагонали
многогранника (нахождение количества диагоналей n-угольной призмы).
15. Понятие развертки
многогранника (примеры разверток многогранников).
16. Различные способы
изготовления моделей многогранников.
Задачи
1. Докажите, что существует точка, не принадлежащая данной плоскости.
2. Докажите, что через
каждую точку пространства можно провести прямую.
3. Докажите, что через
каждую точку пространства можно провести плоскость.
4. Докажите, что в каждой
плоскости лежит по крайней мере одна прямая.
5. Докажите, что через
каждую точку пространства можно провести бесконечно много прямых.
6. Докажите, что через
каждую точку пространства можно провести бесконечно много плоскостей.
7. Докажите, что в каждой
плоскости существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.
8. Докажите, что через
каждую прямую можно провести плоскость.
9. Докажите, что через
каждую прямую можно провести бесконечно много плоскостей.
10. Точки K, L, M и N не
принадлежат одной плоскости. Докажите, что прямые KL и MN не пересекаются.
11. Точки X, Y, Z принадлежат каждой из двух плоскостей 
и 
. Докажите, что данные точки принадлежат одной прямой.
12. Точка C принадлежит прямой AB, точка D не принадлежит этой прямой,
точка E принадлежит прямой AD. Докажите, что плоскости ABD и CDE совпадают.
13. Даны две плоскости 
и 
, пересекающиеся по прямой c, В плоскости 
лежит прямая a, которая пересекается с
плоскостью 
. Докажите, что прямые a и c пересекаются.
14. Даны две плоскости 
и 
, пересекающиеся по прямой m. Точка G принадлежит плоскости 
, точка M принадлежит прямой m. Верны ли утверждения: а)
прямая GM лежит в плоскости 
; б) прямая GM не лежит в плоскости 
?
15. Даны три попарно
пересекающиеся плоскости: 
= a, 
= b, 
= c. Прямые a и b пересекаются в точке H. Докажите, что прямая c проходит через точку H.
16. Даны четыре прямые, из
которых каждые две пересекаются. Докажите, что все данные прямые либо лежат в
одной плоскости, либо проходят через одну точку.
Зачет № 2. Параллельность в пространстве
Вопросы
1. Определение параллельности двух прямых в пространстве (какие две прямые в пространстве не параллельны).
2. Теорема о том, что через
точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная
прямая, параллельная данной (формулировка, доказательство).
3. Определение двух
скрещивающихся прямых в пространстве (какие две прямые в пространстве не
скрещиваются).
4. Взаимное расположение
двух прямых в пространстве.
5. Признак скрещивающихся
прямых (формулировка, доказательство).
6. Определение
параллельности прямой и плоскости (взаимное расположение прямой и плоскости).
7. Свойство, связывающее
понятие параллельности прямой и плоскости и параллельности двух прямых (признак
параллельности двух прямых в пространстве, формулировка, доказательство).
8. Признак параллельности
прямой и плоскости (формулировка, доказательство).
9. Определение
параллельности двух плоскостей (взаимное расположение двух плоскостей).
10. Свойство, связывающее
понятие параллельности двух плоскостей и параллельности двух прямых
(формулировка, доказательство).
11. Признак параллельности
двух плоскостей (формулировка, доказательство).
12. Определение вектора в
пространстве (обозначение, изображение, понятие длины вектора, одинаково и
противоположно направленные векторы, равенство векторов).
13. Свойства сложения
векторов (запись, доказательства).
14. Свойства умножения
вектора на число (запись, доказательства).
15. Понятия коллинеарных и
компланарных векторов (определения, примеры).
16. Теорема о представлении
компланарных векторов (формулировка, доказательство).
17. Понятие параллельного
переноса (определение, примеры, свойства).
18. Понятие параллельного
проектирования (определение, примеры, параллельная проекция точки, параллельная
проекция фигуры).
19. Свойства параллельного
проектирования (формулировки, доказательства).
20. Построение параллельных
проекций плоских фигур (различные расположения относительно направления и
плоскости проектирования).
Задачи
1. Дан прямоугольный
параллелепипед A…D1. E и F – точки пересечения
диагоналей граней ABB1A1 и DCC1D1. Докажите, что прямая EF параллельна плоскостям ABC и A1B1C1.
2. Через точку, не
принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.
3. Через точку, не
принадлежащую данной плоскости, проведите прямую, параллельную данной
плоскости.
4. Через точку, не
принадлежащую данной плоскости, проведите плоскость, параллельную данной.
5. Даны две параллельные
прямые. Через одну из них проведите плоскость, параллельную другой прямой.
6. Через одну из
скрещивающихся прямых проведите плоскость, параллельную другой прямой.
7. Через две скрещивающиеся
прямые проведите параллельные плоскости.
8. Докажите, что если прямая
пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
9. Докажите, что отрезки
параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
10. Докажите, что два угла с
соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат
в параллельных плоскостях.
11. Докажите, что две
плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.
12. Даны три вектора 
, 
, 
, каждые два из которых неколлинеарны. Найдите их сумму, если
вектор 
+
коллинеарен вектору 
, а вектор 
+ 
коллинеарен вектору 
.
13. В прямом параллелепипеде
A…D1 проведите сечение через
середины двух ребер, выходящих из одной вершины нижнего основания и точку
пересечения диагоналей верхнего основания.
14. Проведите сечение через
сторону нижнего основания прямоугольного параллелепипеда и через точку,
принадлежащую боковому ребру противолежащей грани.
15. Дан параллелепипед A…D1. Точки E, F, G принадлежат соответственно ребрам AD, CC1 и внутренней части грани A1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью EFG.
16. Дан параллелепипед A…D1. Точки K, L, M принадлежат соответственно ребру BB1 и внутренним частям граней BB1C1C и A1B1C1D1. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью KLM.
17. Дана прямая треугольная
призма A…C1. Проведите сечение через
точки D, E, принадлежащие
соответственно ребрам BB1, CC1 и точку F – внутреннюю точку призмы.
18. Проведите сечение в
треугольной призме через две точки, принадлежащие двум боковым граням, и точку,
принадлежащую противоположному ребру нижнего основания.
19. В кубе проведите сечение
через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и точку пересечения
диагоналей куба – центр куба.
20. В прямой 5-угольной
призме проведите сечение через две точки, принадлежащие боковым ребрам одной
грани, и точку внутри призмы.
Зачет № 3. Перпендикулярность в пространстве
Вопросы
1. Определение угла между прямыми в пространстве (пересекающиеся, скрещивающиеся и перпендикулярные прямые).
2. Теорема об углах с
сонаправленными сторонами (формулировка, доказательство).
3. Определение
перпендикулярности прямой и плоскости (доказательство того, что прямая,
перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость).
4. Признак
перпендикулярности прямой и плоскости (формулировка, доказательство).
5. Определение ортогонального
проектирования (формулировка его свойств).
6. Определение
перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость (определения высоты пирамиды,
высоты призмы).
7. Определение наклонной к
плоскости (определение ортогональной проекции наклонной).
8. Теорема о перпендикуляре
и наклонной, проведенных к плоскости из одной и той же точки (формулировка,
доказательство).
9. Теорема о трех
перпендикулярах (формулировка, доказательство, обратная теорема).
10. Определение угла между
наклонной и плоскостью (определение прямой, перпендикулярной плоскости).
11. Теорема об угле между
наклонной и плоскостью (формулировка, доказательство).
12. Определение расстояния
между плоскостью и не принадлежащей ей точкой, параллельными плоскостями.
13. Теорема о расстоянии
между параллельными плоскостями (формулировка, доказательство).
14. Определение расстояния
между скрещивающимися прямыми.
15. Теорема об общем
перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым.
16. Понятие двугранного угла
(определение, изображение, грань, ребро, линейный угол двугранного угла).
17. Свойство величины
линейного угла двугранного угла.
18. Определение угла между
пересекающимися плоскостями (перпендикулярные плоскости).
19. Признак
перпендикулярности двух плоскостей.
20. Доказательство того, что
если две плоскости перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и
перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.
21*. Понятие центрального
проектирования (определение, примеры, центральная проекция точки, центральная
проекция фигуры).
22*. Теорема о центральной
проекции плоской фигуры, расположенной в плоскости, параллельной плоскости
проектирования.
23*. История возникновения и
развития учения о перспективе.
24*. Изображение плоских
фигур в центральной проекции (изображение параллельных прямых).
25*. Изображение
пространственных фигур в центральной проекции (примеры, изображение куба).
Задачи
1. Через данную на прямой точку проведите плоскость, перпендикулярную данной прямой.
2. Через точку, не
принадлежащую данной прямой, проведите плоскость, перпендикулярную этой прямой.
3. Через данную в плоскости
точку проведите прямую, перпендикулярную данной плоскости.
4. Через точку, не
принадлежащую данной плоскости, проведите прямую, перпендикулярную данной
плоскости.
5. Докажите, что две плоскости,
перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой.
6. Докажите, что две прямые,
перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
7. Докажите, что если
плоскость и прямая перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны или
прямая лежит в плоскости.
8. Даны две прямые a, b и плоскость 
. Прямая a параллельна плоскости 
, а прямая b ей перпендикулярна.
Докажите, что данные прямые перпендикулярны.
9. Даны две скрещивающиеся
прямые. Проведите прямую, пересекающую обе данные прямые и перпендикулярную им
обеим.
10. Через данную точку
проведите прямую, перпендикулярную двум скрещивающимся прямым.
11. Через данную прямую
проведите плоскость, перпендикулярную данной плоскости.
12. Через прямую a, параллельную плоскости 
, проведите плоскость 
, пересекающую плоскость 
под данным углом 
.
13. Докажите, что из всех
прямых, лежащих в одной грани двугранного угла и проходящих через данную точку,
наибольший угол с другой гранью образует прямая, перпендикулярная ребру
двугранного угла.
14. Докажите, что при
пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, внутренние накрест
лежащие двугранные углы равны.
15. Найдите геометрическое
место точек, равноудаленных от концов данного отрезка.
16. Найдите геометрическое
место точек, равноудаленных от трех данных точек.
17. Найдите геометрическое
место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.
18. Найдите геометрическое
место точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей.
19. Найдите геометрическое
место точек, удаленных от данной плоскости на данное расстояние.
20. Найдите геометрическое
место ортогональных проекций наклонных, проведенных из точки, не принадлежащей
данной плоскости и образующих с этой плоскостью угол, равный данному.
21*. Изобразите в
центральной проекции треугольник, плоскость которого находится между центром
проектирования и плоскостью проектирования.
22*. Изобразите центральную
проекцию правильной 4-угольной пирамиды на плоскость, параллельную ее
основанию.
23*. Проведите сечение
треугольной пирамиды через две точки, принадлежащие ее боковым граням, и точку,
взятую внутри пирамиды.
24*. Через точку,
принадлежащую основанию треугольной пирамиды, проведите сечение, параллельное
двум непересекающимся ее ребрам.
25*. Проведите сечение через
две точки, принадлежащие противоположным боковым граням 4-угольной пирамиды, и
точку, принадлежащую ее основанию.
Зачет № 4. Многогранники
Вопросы
1. Понятие многогранного угла (определение, изображение, обозначение, вершина, ребра, грани, плоские и двугранные углы многогранного угла, типы многогранных углов).
2. Теорема о плоских углах
трехгранного угла (формулировка, доказательство).
3. Понятие многогранника
(определение, элементы многогранника, примеры).
4. Понятие призмы
(определение, изображение, типы призм, количество вершин, ребер, граней,
плоских углов, диагоналей, диагональных сечений).
5. Понятие прямой призмы
(определение, свойства).
6. Понятие правильной призмы
(определение, свойства).
7. Понятие параллелепипеда
(определение, свойства).
8. Понятие пирамиды
(определение, изображение, типы пирамид, количество вершин, ребер, граней,
плоских углов, диагональных сечений).
9. Понятие правильной
пирамиды (определение, свойства).
10. Понятие усеченной
пирамиды (определение, изображение,
количество вершин, ребер, граней, плоских углов, диагональных сечений,
правильная усеченная пирамида).
11*. Понятие выпуклой фигуры
(определение, примеры выпуклых и невыпуклых фигур).
12*. Теорема о сумме всех
плоских углов выпуклого многогранного угла (формулировка и доказательство).
13*. Понятие выпуклого
многогранника (определение, свойства).
14*. Теорема Эйлера
(формулировка и доказательство).
15. Понятие правильного
многогранника (определение, типы).
16. Исторические сведения о
пяти телах Платона.
17*. Понятие полуправильного
многогранника (определение, типы).
18*. Исторические сведения о
телах Архимеда.
19*. Понятие звездчатого
многогранника (правильные звездчатые многогранники – тела Кеплера-Пуансо).
20*. Кристаллы – природные
многогранники (названия, примеры).
Задачи
1. Проведите сечение трехгранного угла, у которого все плоские углы прямые, таким образом, чтобы в сечении получился треугольник, равный данному.
2. Проведите сечение 4-гранного угла таким образом, чтобы в сечении получился параллелограмм.
3. Через вершину трехгранного угла проведите плоскость, которая образует с его гранями равные углы.
4. Через вершину трехгранного угла проведите плоскость, которая образует с его ребрами равные углы.
5. Докажите, что плоскости, каждая из которых проходит через боковое ребро треугольной пирамиды и через пересекающуюся с ним медиану противоположной грани, пересекаются по одной прямой.
6. Докажите, что 6 плоскостей, каждая из которых проходит через одно из ребер треугольной пирамиды и середину противоположного ребра, пересекаются в одной точке.
7. Докажите, что если диагональные плоскости 4-угольной призмы перпендикулярны ее основаниям, то призма прямая.
8. Докажите, что если диагонали параллелепипеда равны между собой, то параллелепипед прямоугольный.
9. Докажите, что сумма квадратов диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.
10. Докажите, что плоскость, проходящая через концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, отсекает третью часть его диагонали, выходящей из той же вершины.
11. Докажите, что если через каждую вершину верхнего основания треугольной призмы и через противоположное ей ребро нижнего основания провести плоскость, то эти плоскости пересекутся в точке, принадлежащей прямой, проходящей через точки пересечения медиан оснований данной призмы.
12. Постройте куб по данной его диагонали.
13. Постройте правильный тетраэдр по его ребру.
14. Постройте октаэдр по его ребру.
15. Докажите, что правильный тетраэдр двойственен самому себе.
16. Постройте прямую четырехугольную призму по ее основанию и одной из диагоналей.
17. Постройте треугольную пирамиду по ее основанию, высоте и двум боковым ребрам.
18. Постройте треугольную пирамиду по ее основанию и двум углам, которые образуют боковые ребра с основанием.
19. Постройте треугольную пирамиду по ее основанию и трем боковым ребрам.
20. Постройте треугольную пирамиду по ее боковым ребрам и плоским углам при вершине.
21*. Докажите, что любой выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
22*. Докажите, что для невыпуклой призмы выполняется соотношение Эйлера.
23*. Докажите, что для невыпуклой пирамиды выполняется соотношение Эйлера.
24*. Найдите многогранник, который является пересечением тетраэдров, образующих звездчатый октаэдр. Найдите его ребра, если ребро куба, в который вписан звездчатый октаэдр, равно 1.
25*. Впишите в данный куб ромбододекаэдр.
Зачет № 5. Круглые тела
Вопросы
1. Понятия сферы и шара (определения, центр, радиус, касательная плоскость, большая окружность, большой круг, касательная прямая).
2. Различные случаи взаимного расположения сферы и плоскости.
3. Теорема об отрезках касательных прямых, проведенных к сфере из одной точки (формулировка, доказательство).
4. Теорема об ортогональной проекции сферы (формулировка, доказательство).
5. Понятие многогранника, вписанного в сферу (определение, примеры).
6. Теорема о сфере, описанной около треугольной пирамиды (формулировка, доказательство).
7. Теорема о сфере, описанной около призмы (формулировка, доказательство).
8. Понятие многогранника, описанного около сферы (определение, примеры).
9. Теорема о сфере, вписанной в треугольную пирамиду (формулировка, доказательство).
10. Теорема о сфере, вписанной в призму (формулировка, доказательство).
11. Понятие цилиндра (определение, элементы цилиндра).
12. Понятие конуса (определение, элементы конуса).
13. Понятие усеченного конуса (определение, элементы усеченного конуса).
14. Понятия поворота и фигуры вращения (определение, примеры).
15*. Теорема о вращении прямой, скрещивающейся с осью вращения (формулировка, доказательство).
16. Понятия сферы, вписанной и описанной около цилиндра (определения, примеры).
17. Теорема о сфере, вписанной в цилиндр (формулировка, доказательство).
18. Понятия цилиндра, вписанного и описанного около прямой призмы (определения, примеры, касательная плоскость к цилиндру).
19*. Фокальное свойство эллипса (формулировка, доказательство).
20. Понятия сферы, вписанной и описанной около конуса (определения, примеры).
21. Теорема о сфере, вписанной в конус (формулировка, доказательство).
22. Теорема о сфере, описанной около конуса (формулировка, доказательство).
23. Понятия конуса, вписанного и описанного около пирамиды (определения, примеры, касательная плоскость к конусу).
24*. Теорема о сечении конической поверхности, при котором получается эллипс (формулировка, доказательство).
25*. Теорема о сечении конической поверхности, при котором получается парабола (формулировка, доказательство).
26*. Теорема о сечении конической поверхности, при котором получается гипербола (формулировка, доказательство).
27. Понятие симметрии (определение, центральная, осевая и зеркальная симметрии).
28. Понятие о движении (определение, примеры движений).
29. Теоремы о движениях (формулировки, доказательства).
30*. Понятие ориентации поверхности (определение, примеры ориентируемых и неориентируемых поверхностей).
Задачи
1. Докажите, что сечением сферы плоскостью является окружность.
2. Докажите, что две большие окружности сферы, пересекаясь, делят друг друга пополам.
3. Докажите, что через две точки сферы, не принадлежащие одному диаметру, можно провести большую окружность и притом только одну.
4. Докажите, что плоскость, проходящая через конец радиуса сферы перпендикулярно ему, является касательной плоскостью.
5. Докажите, что касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
6. Докажите, что около любой правильной пирамиды можно описать сферу.
7. Докажите, что около любой правильной призмы можно описать сферу.
8. Докажите, что в любую правильную пирамиду можно вписать сферу.
9. Докажите, что все плоскости, пересекающие данную сферу по окружностям данного радиуса, касаются сферы, концентрической данной.
10. Докажите, что цилиндрическая поверхность, ось которой проходит через центр сферы, пересекает ее по окружности.
11. Докажите, что коническая поверхность, ось которой проходит через центр сферы, пересекает ее по окружности.
12. Найдите геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой.
13. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса, касающихся боковой поверхности данного цилиндра.
14. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса, пересекающих данную плоскость по окружностям данного радиуса.
15. Докажите, что в цилиндр можно вписать сферу, если его осевым сечением является квадрат (равносторонний цилиндр).
16. Докажите, что если в усеченный конус можно вписать сферу, то его образующая равна сумме радиусов обоих оснований.
17. Найдите геометрическое место прямых, образующих данный угол с данной прямой и проходящих через данную на ней точку.
18. Найдите геометрическое место центров сфер, проходящих через вершины данного треугольника.
19. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса, касающихся граней данного двугранного угла.
20. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса, касающихся граней данного трехгранного угла.
21*. Найдите фигуру, которая получится при вращении правильной 4-угольной пирамиды вокруг прямой, соединяющей середины одной из сторон основания и скрещивающегося с ней бокового ребра.
22*. Прямоугольный лист бумаги
свернули в боковую поверхность цилиндра с радиусом основания R и провели сечение, составляющее с плоскостью основания угол
. Затем боковую поверхность цилиндра развернули обратно в
прямоугольник. Найдите уравнение полученной кривой.
23. Докажите, что касательная плоскость к цилиндру перпендикулярна плоскости, проходящей через образующую касания и ось цилиндра.
24. Докажите, что две не параллельные плоскости, касающиеся цилиндра, пересекаются по прямой, параллельной оси цилиндра.
25. Докажите, что плоскость, касательная к конусу, перпендикулярна плоскости, проходящей через образующую касания и ось конуса.
26. Докажите, что прямая, касательная к окружности основания конуса, перпендикулярна образующей конуса, проходящей через точку касания.
27. Докажите, что если одна из боковых граней треугольной призмы, вписанной в цилиндр, проходит через его ось, то две другие ее боковые грани перпендикулярны.
28. Докажите, что две прямые, симметричные относительно некоторой плоскости, лежат в одной плоскости.
29. Докажите, что если фигура имеет ось симметрии n-го порядка, n = n1 n2, где n1, n2 – натуральные числа, то она имеет также оси симметрии порядка n1 и n2.
30. Найдите геометрическое место точек, симметричных данной точке относительно всех точек данной прямой.
31*. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 600. Под каким углом к плоскости основания конуса нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?
32*. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 450. Под каким углом к плоскости основания нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?
Зачет № 6. Объем и площадь поверхности
Вопросы
1. Понятие объема фигуры (определение, свойства).
2. Объем прямого цилиндра (формулировка, доказательство).
3. Объемы прямой призмы и прямого кругового цилиндра (формулировки, доказательства).
4. Принцип Кавальери (формулировка, примеры).
5. Объем наклонного цилиндра (формулировка, доказательство).
6. Объемы наклонной призмы и наклонного кругового цилиндра (формулировки, доказательства).
7. Теорема об объемах двух конусов с равными высотами и основаниями равной площади (формулировка, доказательство).
8. Объем пирамиды (формулировка, доказательство).
9*. Объем усеченной пирамиды (формулировка, доказательство).
10. Исторические сведения об измерении объемов пространственных фигур.
11. Объем конуса (формулировка, доказательство).
12*. Объем усеченного конуса (формулировка, доказательство).
13. Объем шара (формулировка, доказательство).
14. Объем шарового сегмента (формулировка, доказательство).
15. Понятие площади поверхности многогранника (определение, примеры).
16. Площадь поверхности
цилиндра (формулировка, доказательство).
17. Площадь поверхности конуса (формулировка, доказательство).
18. Площадь поверхности усеченного конуса (формулировка, доказательство).
19. Площадь поверхности шара (формулировка, доказательство).
20. Площадь поверхности шарового сегмента (формулировка, доказательство).
Задачи
1. Докажите, что площади боковых поверхностей двух цилиндров, объемы которых равны, относятся как радиусы их оснований.
2. Докажите, что если два цилиндра равновелики, то площади их боковых поверхностей обратно пропорциональны радиусам оснований.
3. Докажите, что объем призмы, основанием которой является трапеция, равен произведению среднего арифметического между площадями параллельных боковых граней на расстояние между ними.
4. В основании четырехугольной призмы лежит ромб. Диагональные сечения перпендикулярны плоскости основания и площади их равны соответственно 100 см2 и 105 см2; длина их линии пересечения равна 10 см. Найдите объем и площадь боковой поверхности данной призмы.
5. Найдите объем параллелепипеда, если площади двух его граней равны P и Q, их общее ребро равно b, двугранный угол между ними равен 300.
6. В треугольной призме площадь одной из ее боковых граней равна m2, а расстояние от нее до противоположного ребра равно h. Найдите объем призмы.
7. В кубе с ребром a взято 5 точек: центр верхней грани и середины сторон нижней грани. Эти точки служат вершинами многогранника, вписанного в куб. Найдите его объем и площадь поверхности.
8. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной a. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. Найдите объем и площадь боковой поверхности данной пирамиды.
9. Найдите отношения объемов и боковых поверхностей двух цилиндров, один из которых описан около правильной треугольной призмы, а другой вписан в нее.
10. В цилиндре площадь сечения, перпендикулярного оси, равна Q, площадь осевого сечения равна S. Найдите объем цилиндра и площадь его поверхности.
11. На основаниях равностороннего цилиндра, диаметры которых равны 2 дм, построены два конуса с вершинами в середине оси цилиндра. Найдите сумму объемов конусов и сумму площадей их поверхностей.
12. Около конуса с радиусом основания R описана пирамида, у которой периметр основания равен 2p. Найдите отношение их объемов и отношение площадей их боковых поверхностей.
13. Треугольник со сторонами 10 дм, 17 дм и 21 дм вращается вокруг большей стороны. Найдите объем и площадь поверхности полученного тела.
14. Два конуса имеют образующую одинаковой длины l. Развертки их боковых поверхностей дополняют друг друга до круга. Площади поверхностей относятся как 1:6. Найдите радиусы оснований данных конусов.
15. Конус, имеющий высоту h, радиус основания r, пересечен двумя плоскостями, параллельными его основанию и делящими высоту на три равные части. Найдите объем средней части.
16. Дана четверть круга OABC с центром в точке O и дугой ACB. В ней проведена хорда AB. Докажите, что объемы фигур, которые получаются при вращении треугольника AOB и сегмента ACB вокруг прямой AO, равны.
17. Докажите, что площадь поверхности тела, полученного вращением квадрата вокруг своей стороны, равна площади поверхности шара, радиус которого равен стороне данного квадрата.
18. Около правильной треугольной призмы, у которой высота в два раза больше стороны основания, описан шар. Найдите отношение его объема к объему данной призмы.
19. В шар вписана прямая треугольная призма, стороны основания которой равны 2 дм, 2 дм и 3,2 дм. Найдите площадь поверхности шара.
20. Площадь поверхности шара
равна 169
см2, а образующая вписанного в него конуса равна 
см. Найдите объем конуса.
Зачет № 7. Координаты и векторы
Вопросы
1. Прямоугольная система координат в пространстве (определение, названия, примеры).
2. История открытия прямоугольной системы координат.
3. Теорема о расстоянии между точками в пространстве (формулировка, доказательство).
4. Уравнение сферы с центром в точке A(x0,y0,z0) и радиусом R (формулировка, доказательство).
5. Понятие координат вектора (определение, примеры).
6. Теорема о разложении вектора по координатным векторам (формулировка, доказательство).
7. Теорема о координатах суммы двух векторов (формулировка, доказательство).
8. Понятие скалярного произведения векторов (определение, скалярный квадрат, примеры).
9. Теорема о выражении скалярного произведения векторов через их координаты (формулировка, доказательство).
10. Уравнение плоскости в пространстве (формулировка, доказательство).
11*. Уравнение прямой в пространстве (формулировка, доказательство).
12. Аналитическое задание фигур в пространстве (сфера, шар, цилиндр, многогранник).
13*. Понятие о задачах оптимизации (примеры, этапы решения).
14*. Полярная система координат на плоскости (определение, названия, примеры).
15*. Уравнение окружности в полярных координатах (вывод, изображение).
16*. Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах (вывод, изображение).
17*. Уравнение логарифмической спирали в полярных координатах (вывод, изображение).
18*. Уравнение трилистника в полярных координатах (вывод, изображение).
19*. Сферические координаты в пространстве (определение, названия, примеры).
20*. Исторические сведения об измерении Земли.
Задачи
1. Докажите, что точки A(-1,3,4), B(-2,0,5), C(1,1,-3), D(2,4,-4) являются вершинами параллелограмма. Найдите косинус угла между его диагоналями.
2. Найдите расстояние от точки K(1,2,-7) до плоскости, заданной уравнением 12x + 4y + 3z – 4 = 0.
3. Сфера (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 проходит через начало координат. Докажите, что уравнение касательной плоскости к сфере в начале координат имеет вид ax + by + cz = 0.
4. Найдите косинус угла между плоскостями 2x + 3y + 6z – 5 = 0 и 4x + 4y + 2z – 7 = 0.
5. Найдите условие касания двух сфер, заданных уравнениями (x – x1)2 + (y – y1)2 + (z – z1)2 = R12; (x – x2)2 + (y – y2)2 + (z – z2)2 = R22.
6. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 8x – 3y + z – 1 = 0 при центральной симметрии относительно начала координат.
7. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 5x + 3y – 7z + 2 = 0 при осевой симметрии относительно оси аппликат.
8. Найдите уравнение плоскости, в которую преобразуется плоскость 2x – y + 11z – 8 = 0 при зеркальной симметрии относительно координатной плоскости Oxy.
9. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку H(1,3,-1) параллельно плоскости 3x + y – z + 5 = 0.
10. Прямая задана точками A(6,0,2) и B(1,-3,4). Найдите координаты точки C(x,y,8), которая принадлежит прямой AB.
11. Найдите координаты
единичного вектора 
, если он перпендикулярен векторам 
(3,3,0) и 
(0,3,3).
12. Найдите точку пересечения трех плоскостей 5x – z + 3 =0, 2x – y – 4z + 5 = 0, 3y + 2z – 1 = 0.
13. Из точки A(x0,y0,z0), лежащей вне сферы (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2, проведена к ней касательная MA, где точка M – точка касания. Найдите отрезок MA.
14. Найдите условие того, что две сферы (x – x1)2 + (y – y1)2 + (z – z1)2 = R12 и (x – x2)2 + (y – y2)2 + (z – z2)2 = R22 касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом.
15*. Найдите уравнение сферы, проходящей через начало координат и точки A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c). Докажите, что прямая, проходящая через начало координат перпендикулярно плоскости ABC, пересекает плоскость и сферу соответственно в точках M и N таких, что OM:ON = 1:3.
16*. Изобразите многогранник,
задаваемый неравенствами: |x| + |y| + |z| 
6; |x| 
1; |y| 
2; |z| 
3.
17*. Найдите точку пересечения
прямой, заданной системой уравнений 
с плоскостью 3x
– y +2z – 5 = 0.
18*. Изобразите спирали
Архимеда, задаваемые уравнениями: r = 
; r = 2
.
19*. Изобразите кривую,
задаваемую уравнением r = sin4
.
20*. Найдите сферические
координаты вершин прямоугольного параллелепипеда, который задается системой
неравенств 
